Question

5．已知點A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）都在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）
（1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；
（2）求線段BC中點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A（2，8）在拋物線y²=2px，（p＞0）上，利用待定系數(shù)法能求出拋物線方程．
（2）由已知條件知F（8，0）是線段AM的定比分點，且$\frac{AF}{FM}$=2，由此能求出點M的坐標．

解答 解：（1）∵點A（2，8）在拋物線y²=2px，（p＞0）上，
∴64=4p，解得p=16，
∴拋物線方程為y²=32x，焦點F的坐標為F（8，0）．
（2）如圖，∵F（8，0）是△ABC的重心，M是BC中點，
∴F是線段AM的定比分點，且$\frac{AF}{FM}$=2，
設點M的坐標為（x₃，y₃），
則$\frac{2+2{x}_{3}}{1+2}$=8，$\frac{8+2{y}_{3}}{1+2}$=0，
解得x₃=11，y₃=-4，
∴點M的坐標為M（11，-4）．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查線段中點坐標的求法，解題時要認真審題，注意定比分點公式的合理運用．