Question

20．已知函數f（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+3+a}{x-1}$，其中a為常數；
（1）當a=2時，解不等式f（x）≥1；
（2）當a＜0時，求函數f（x）在x∈（1，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）將a代入，得到不等式，并移項通分化簡為整式不等式解之；
（2）將函數分解為兩個函數的和的形式，利用函數的單調性求值域．

解答 解：（1）a=2，不等式f（x）≥1即為$\frac{{x}^{2}-4x+5}{x-1}≥1$，化簡為（x-1）（x-2）（x-3）≥0且x≠1，所以不等式的解集為：（1，2]∪[3，+∞）；
（2）當a＜0時所以f（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+3+a}{x-1}$=x-3+$\frac{a}{x-1}$，此函數為增函數，所以x∈（1，3]的值域為（-∞，$\frac{a}{2}$]．

點評 本題考查了分式不等式的解法以及利用函數的單調性求函數的值域；屬于中檔題．