Question

8．已知函數f（x）=3^|x|+log₃|x|．
（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（2）說明函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，并利用單調性定義證明；
（3）若 f（2^a）＜28，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數f（x）=3^|x|+log₃|x|的定義域為R{x|x≠0}，判斷f（-x）=3^|-x|+log₃|-x|=3^|x|+log₃|x|=f（x），即可；
（2）用定義法證明單調性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結論；
（3）利用f（3）=28，f（2^a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函數，即可得出結論．

解答 解：（1）函數f（x）=3^|x|+log₃|x|的定義域為R{x|x≠0}
且f（-x）=3^|-x|+log₃|-x|=3^|x|+log₃|x|=f（x），
則函數f（x）為偶函數．
（2）函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=${3}^{|{x}_{1}|}+lo{g}_{3}|{x}_{1}|-{3}^{|{x}_{2}|}-lo{g}_{3}|{x}_{2}|$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（3）∵f（3）=28，f（2^a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函數
∴2^a＜3，∴a＜log₂3．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性的證明，奇偶性注意先求定義域，單調性證明一般有兩種方法，定義法，導數法．屬于中檔題．