Question

18．已知函數f（x）=xlnx，g（x）=ax²-（a+1）x+1（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0時，設h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≤g（x）+lnx，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數h（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）問題轉化為只需h（x）=ax-lnx-1≥0即可，通過討論a的范圍，求出h（x）的最小值，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=0時，h（x）=f（x）+g（x）=xlnx-x+1，
∴h'（x）=lnx，
由h'（x）＜0，得x∈（0，1），由h'（x）＞0，得x∈（1，+∞），
∴h（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增；…（4分）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）+lnx，得（x-1）lnx≤（ax-1）（x-1），
因為x≥1，所以：（ⅰ）當x=1時，a∈R．
（ⅱ）當x＞1時，可得lnx≤ax-1，令h（x）=ax-lnx-1，
則只需h（x）=ax-lnx-1≥0即可，
因為h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，且0＜$\frac{1}{x}$＜1，
①當a≤0時，h′（x）＜0，得h（x）在（1，+∞）單調遞減，
且可知h（e）=ae-2＜0這與h（x）=ax-lnx-1≥0矛盾，舍去；
②當a≥1時，h′（x）＞0，得h（x）=ax-lnx-1在（1，+∞）上是增函數，
此時h（x）=ax-lnx-1＞h（1）=a-1≥0．
③當0＜a＜1時，可得 h（x）在（1，$\frac{1}{a}$）單調遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）單調遞增，
∴h（x）min=h（$\frac{1}{a}$）=lna＜0矛盾，
綜上：當a≥1時，f（x）≤g（x）+lnx恒成立．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．