Question

8．設函數f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦函數圖象在對稱軸取得最值，結合φ的范圍，即可求出φ的值；
（Ⅱ）根據正弦函數的單調區間，求出f（x）的單調增區間即可．

解答 解：（Ⅰ）由函數f（x）=sin（2x+φ），
且y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{6}$；
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
又-π＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{5π}{6}$；
（Ⅱ）由函數f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{4π}{3}$+2kπ，k∈Z，
即$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z；
∴函數y=f（x）的單調增區間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

點評 本題考查了正弦型函數的對稱性與單調性的應用問題，是基礎題目．