Question

3．已知函數f（x）=x³-12x，若f（x）在區間（2m，m+1）上單調遞減，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． [-1，1]
• B． （-1，1]
• C． （-1，1）
• D． [-1，1）

Answer 1

分析 由函數f（x）=x³-12x在（2m，m+1）內單調遞減轉化成f′（x）≤0在（2m，m+1）內恒成立，得到關于m的關系式，即可求出m的范圍．

解答 解：∵函數f（x）=x³-12x在（2m，m+1）上單調遞減，
∴f'（x）=3x²-12≤0在（2m，m+1）上恒成立．
故  $\left\{\begin{array}{l}{f′（2m）≤0}\\{f′（m+1）≤0}\\{2m＜m+1}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{8m}^{3}-24m≤0}\\{{（m+1）}^{3}-12（m+1）≤0}\\{2m＜m+1}\end{array}\right.$成立．
解得：-1≤m＜1，
故選：D．

點評 此題主要考查利用導函數的正負判斷原函數的單調性，考查函數的恒成立，轉化思想的應用，屬于中檔題．