Question

14．如果數(shù)列{a_n}的前n項之和為S_n=3+2ⁿ，那么a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{{4}^{n}+71}{3}$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出數(shù)列是前兩項，然后判斷所求數(shù)列的特征，利用求和公式轉(zhuǎn)化求解前n項和即可．

解答 解：因為數(shù)列{a_n}的前n項之和為S_n=3+2ⁿ，a₁=5，a₂=2，
a_n=S_n-S_n-1，n≥2，又S_n=2ⁿ+3，
所以a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1所以，a_n²=4^n-1是從第二項起是等比數(shù)列；
設(shè)A_n=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²，
由等比數(shù)列前n項和a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=a₁²+$\frac{{{a}_{2}}^{2}（1-{q}^{n-1}）}{1-q}$，q=4．
解得a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=25+$\frac{4（{4}^{n-1}-1）}{3}$=$\frac{{4}^{n}+71}{3}$．
故答案為：$\frac{{4}^{n}+71}{3}$．

點評 此題主要考查數(shù)列的求和問題，其中應(yīng)用到由前n項和求數(shù)列通項和等比數(shù)列的前n項和公式，這些都需要理解并記憶．