Question

4．已知直線l₁：2x+y+4=0，l₂：ax+4y+1=0．
（1）當l₁⊥l₂時，求l₁與l₂的交點坐標；
（2）當l₁∥l₂時，求l₁與l₂間的距離．

Answer 1

分析 （1）利用直線垂直與斜率之間的關系可得a，進而得到直線的交點．
（2）利用平行與斜率之間的關系可得a，再利用平行線之間的距離公式即可得出．

解答 解：由2x+y+4=0，得y=-2x+4，所以直線l₁的斜率為k₁=-2；
同理求得直線l₂的斜率為${k_2}=-\frac{a}{4}$…（1分）
（1）當l₁⊥l₂時，k₁k₂=-1，∴$（-2）×（-\frac{a}{4}）=-1$，解得a=-2．
此時，l₂：-2x+4y+1=0．
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y+4=0，\;\;\\-2x+4y+1=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}，\;\;\\ y=-1.\end{array}\right.$
∴l₁與l₂的交點坐標為$（-\frac{3}{2}，-1）$…（5分）
（2）當l₁∥l₂時，k₁=k₂，∴$-2=-\frac{a}{4}$，解得a=8．
此時，l₂：8x+4y+1=0，l₁可化為8x+4y+16=0．
由兩平行線間距離公式得l₁與l₂間的距離為$d=\frac{|16-1|}{{\sqrt{{8^2}+{4^2}}}}=\frac{15}{{4\sqrt{5}}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{4}$…（10分）

點評 本題考查了直線平行垂直與斜率之間的關系、平行線之間的距離公式、直線交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．