Question

7．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB邊上且滿足：$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CA}+（1-t）\overrightarrow{CB}$，若∠ACD=60°，則t的值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． $\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 易知A，B，D三點共線，從而建立坐標系，從而利用坐標運算求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CA}+（1-t）\overrightarrow{CB}$，
∴A，B，D三點共線，
∴由題意建立如圖所示坐標系，
設AC=BC=1，
則C（0，0），A（1，0），B（0，1），
直線AB的方程為x+y=1，
直線CD的方程為y=$\sqrt{3}$x，
故聯立解得，x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，y=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
故D（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），
故$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，0），$\overrightarrow{CB}$=（0，1），
故t$\overrightarrow{CA}$+（1-t）$\overrightarrow{CB}$=（t，1-t），
故（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）=（t，1-t），
故t=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查了平面向量坐標運算的應用，考查平面向量基本定理，屬于中檔題．