Question

9．已知定圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，動圓N過點F（$\sqrt{3}$，0）且與圓M相切，記圓心N的軌跡為C直線l過點E（-1，0）且與C于A，B
（Ⅰ）求軌跡C方程；
（Ⅱ）△AOB是否存在最大值，若存在，求出△AOB的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以N，F為焦點，長半軸長為2的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）存在△AOB面積的最大值．由直線l過點E（-1，0），設直線l的方程為 x=my-1，聯立橢圓方程，整理得（m²+4）y²-2my-3=0．由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解得y₁=$\frac{m+2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，y₂=$\frac{m-2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$．再換元，結合函數的單調性，由此能求出S_△AOB的最大值．

解答 解：（ I）易知點F（$\sqrt{3}$，0）在圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16內，所以圓N內切于圓M，又圓M的半徑為4，所以|NM|+|NF|=4＞2$\sqrt{3}$=|FM|，所以點N的軌跡C為橢圓，且2a=4，c=$\sqrt{3}$，所以b=1，
所以軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1         （4分）
（Ⅱ）存在△AOB面積的最大值．…（6分）
因為直線l過點E（-1，0），設直線l的方程為 x=my-1或y=0（舍）．
聯立橢圓方程，整理得 （m²+4）y²-2my-3=0．…（7分）
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解得y₁=$\frac{m+2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，y₂=$\frac{m-2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$．
則|y₂-y₁|=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OE||y₂-y₁|=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+3}}}$ …（10分）
設g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t=$\sqrt{{m}^{2}+3}$，t≥$\sqrt{3}$．
則g（t）在區間[$\sqrt{3}$，+∞）上為增函數．
所以g（t）≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
所以S_△AOB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當且僅當m=0時取等號，所以S_△AOB的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（13分）

點評 本題考查曲線的軌跡方程的求法，考查三角形的面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．