Question

20．為增強市民的節能環保意識，鄭州市面向全市征召義務宣傳志愿者，從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．
（Ⅰ）求圖中x的值，并根據頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[35，40]歲的人數；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動，再從這10名志愿者中選取3名擔任主要負責人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據小矩形的面積等于頻率，除[35，40）外的頻率和為0.70，即可得出．
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取10名，則其中年齡“低于35歲”的人有6名，“年齡不低于35歲”的人有4名，故X的可能取值為0，1，2，3．利用超幾何分布列的計算公式及其數學期望計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵小矩形的面積等于頻率，∴除[35，40）外的頻率和為0.70，
∴$x=\frac{1-0.70}{5}=0.06$
500名志愿者中，年齡在[35，40）歲的人數為0.06×5×500=150（人）
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取10名，則其中年齡“低于35歲”的人有6名，
“年齡不低于35歲”的人有4名，故X的可能取值為0，1，2，3.$P（{X=0}）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$，$P（{X=1}）=\frac{C_6^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$，$P（{X=2}）=\frac{C_6^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，$P（{X=3}）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$．
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

所以$EX=0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、分層抽樣的方法、超幾何分布列的計算公式及其數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．