Question

15．已知四棱錐P-ABCD的正視圖1是一個底邊長為4、腰長為3的等腰三角形，圖2、圖53分別是四棱錐P-ABCD的側視圖和俯視圖．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求四棱錐P-ABCD的側面積．

Answer 1

分析 （1）根據三視圖形狀可得側面PDC⊥平面ABCD，結合矩形ABCD中AD⊥CD，由面面垂直的性質得AD⊥側面PDC．再根據線面垂直的性質，結合PC?側面PDC可證出AD⊥PC；
（2）過E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，分別求出側面積，即得四棱錐P-ABCD的側面積．

解答 （1）證明：依題意，可知點P在平面ABCD上的正射影是線段CD的中點E，連接PE，
則PE⊥平面ABCD．…（1分）
∵AD?平面ABCD，
∴AD⊥PE．…（2分）
∵AD⊥CD，CD∩PE=E，CD?平面PCD，PE?平面PCD，
∴AD⊥平面PCD．…（4分）
∵PC?平面PCD，
∴AD⊥PC．…（5分）
（2）解：依題意，在等腰三角形PCD中，PC=PD=3，DE=EC=2，
在Rt△PED中，$PE=\sqrt{P{D^2}-D{E^2}}=\sqrt{5}$，…（6分）
過E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，
∵PE⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥PE．
∵EF?平面PEF，PE?平面PEF，EF∩PE=E，
∴AB⊥平面PEF．
∵PF?平面PEF，
∴AB⊥PF．
依題意得EF=AD=2．
在Rt△PEF中，$PF=\sqrt{P{E^2}+E{F^2}}=3$，…（9分）
∴四棱錐P-ABCD的側面積
$\begin{array}{l}{S_{△PAB}}+{S_{△PBC}}+{S_{△PCD}}+{S_{△PAD}}=\frac{1}{2}×4×3+2×\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}\\=12+2\sqrt{5}\end{array}$．…（12分）

點評 本題給出三視圖，要求我們證明線線垂直并求側面三角形的面積，著重考查了三視圖求面積和面面垂直、線面垂直的性質定理等知識，屬于中檔題．