Question

8．已知函數f（x）=（ax-1）e^x，a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當m＞n＞0時，證明：meⁿ+n＜ne^m+m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的定義域，以及導數，討論a=0，a＞0，a＜0，判斷導數符號，解不等式即可得到所求單調區間；
（Ⅱ）運用分析法證明．要證meⁿ+n＜ne^m+m，即證meⁿ-m＜ne^m-n，也就是證$\frac{{e}^{n}-1}{n}$＜$\frac{{e}^{m}-1}{m}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x＞0，求出導數，再令h（x）=xe^x-e^x+1，求出導數，判斷單調性，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定義域為R，且f′（x）=（ax+a-1）e^x．
當a=0時，f′（x）=-e^x＜0，此時f（x）的單調遞減區間為（-∞，+∞）；
當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＞-$\frac{a-1}{a}$，由f′（x）＜0，得x＜-$\frac{a-1}{a}$．
此時f（x）的單調減區間為（-∞，-$\frac{a-1}{a}$），單調增區間為（$-\frac{a-1}{a}$，+∞）；
當a＜0時，由f′（x）＞0，得x＜-$\frac{a-1}{a}$，由f′（x）＜0，得x＞-$\frac{a-1}{a}$．
此時f（x）的單調減區間為（$-\frac{a-1}{a}$，+∞），單調增區間為（-∞，-$\frac{a-1}{a}$）．
（Ⅱ）證明：要證meⁿ+n＜ne^m+m，即證meⁿ-m＜ne^m-n，
也就是證m（eⁿ-1）＜n（e^m-1）．
也就是證$\frac{{e}^{n}-1}{n}$＜$\frac{{e}^{m}-1}{m}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x＞0，g′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
再令h（x）=xe^x-e^x+1，h′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe^x＞0，
可得h（x）在x＞0遞增，即有h（x）＞h（0）=0，
則g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，
由m＞n＞0，可得$\frac{{e}^{n}-1}{n}$＜$\frac{{e}^{m}-1}{m}$，
故原不等式成立．

點評 本題考查函數的單調性、導數及其應用、不等式的證明等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力及抽象概括能力，考查函數與方程思想、分類與整合思想，屬難題．