Question

3．試討論函數f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在區(qū)間[0，1]上的單調性．

Answer 1

分析 f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在區(qū)間[0，1]上是減函數，理由如下：
證法一：設x₁、x₂∈-1，1]且x₁＜x₂，作差判斷出f（x₁）＞f（x₂）可得：f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在區(qū)間[0，1]上是減函數；
證法二：求導，根據當x∈[0，1）時，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立，當x=1時，f（x）=0可得：f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在區(qū)間[0，1]上是減函數；

解答 解：f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在區(qū)間[0，1]上是減函數，理由如下：
證法一：設x₁、x₂∈-1，1]且x₁＜x₂，即-1≤x₁＜x₂≤1．
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{1-{{x}_{1}}^{2}}$-$\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（1-{{x}_{1}}^{2}）-（1-{{x}_{2}}^{2}）}{\sqrt{1-{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$=-$\frac{（{x}_{2}-{{x}_{1}}^{\;}）-（{x}_{2}+{x}_{1}）}{\sqrt{1-{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$，
∵x₂-x₁＞0，$\sqrt{1-{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞0，
∴當x₁＞0，x₂＞0時，x₁+x₂＞0，
那么f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在區(qū)間[0，1]上是減函數；
證法二：∵函數f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，令y=$\sqrt{u}$，u=1-x²，
則y′=$\frac{1}{2\sqrt{u}}$，u′=-2x．
∴f′（x）=$\frac{-x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
當x∈[0，1）時，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立
當x=1時，f（x）=0
故f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在區(qū)間[0，1]上是減函數；

點評 本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，利用導數法研究函數的單調性，難度中檔．