Question

8．若函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數g（x）=（1-4m）$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是增函數，則m=$\frac{1}{16}$，a=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先根據g（x）的單調性求出m的范圍，在分類討論，根據指函數的單調性，求出a，m的值，問題得以解決

解答 解：∵函數g（x）=（1-4m）$\sqrt{x}$在[0，+∞）內是增函數，
∴1-4m＞0，
即m＜$\frac{1}{4}$，
∵函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1﹚在區間[-1，2]上的最大值為4，最小值為m，
當a＞1時，函數f（x）=a^x為增函數，
∴a^-1=m，a²=4，
解得a=2，m=$\frac{1}{2}$$＞\frac{1}{4}$（舍去），
當0＜a＜1時，函數f（x）=a^x為減函數，
∴a^-1=4，a²=m，
解得a=$\frac{1}{4}$，m=$\frac{1}{16}$∈（-∞，$\frac{1}{4}$），
綜上所述，a=$\frac{1}{4}$，m=$\frac{1}{16}$
故答案為：m=$\frac{1}{16}$，a=$\frac{1}{4}$，

點評 本題主要考查了指數函數的單調性，掌握性質很重要，屬于基礎題