Question

13．設f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，g（x）=ax+3-3a（a＞0），若對于任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [1，2]
• C． [0，2]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求解當x₁∈[0，2]，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$的值域，x₀∈[0，2]，g（x）=ax+3-3a（a＞0）值域，根據題意可知f（x）的值域是g（x）的值域的子集．可得a的取值范圍．

解答 解：當x₁∈[0，2]，
函數f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，
則f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x-1}}$，
令f′（x）=0，解得：x=1，
當x在（0，1）時，f′（x）＞0，∴函數f（x）在（0，1）上單調遞增；
當x在（1，2）時，f′（x）＜0，∴函數f（x）在（1，）上單調遞減；
所以：當x=1時，f（x）取得最大值為1．
當x=0時，f（x）取得最小值為0．
故得函數f（x）的值域M∈[0，1]．
當x₀∈[0，2]，
∵a＞0
函數g（x）=ax+3-3a在其定義域內是增函數
當x=0時，函數g（x）取得取得最小值為：3-3a．
當x=2時，函數g（x）取得取得最大值為：3-a．
故得函數f（x）的值域N∈[3-3a，3-a]．
∵M⊆N，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-3a≤0}\\{3-a≥1}\end{array}\right.$，
解得：1≤a≤2．
故選B．

點評 本題考查了函數的單調性的運用求函數的值域問題，恒成立問題轉化為不等式問題．屬于中檔題．