Question

13．已知函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），若存在非零實數t，使得f（t）+$f（\frac{1}{t}）$=-3，則a²+4b²的最小值是37．

Answer 1

分析 由題意可得t²+at+b+$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{a}{t}$+b=-3，t+$\frac{1}{t}$=m，|m|≥2，得到-2b=m²+am+1，代入到a²+4b²，構造函數f（a）=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
利用二次函數的性質得到f（a）_min=（m²+1）（4m²+1），再令m²=n≥4，構造函數f（n）=（n+1）（4n+1）=4n²+5n+1，根據函數的單調性即可求出
最小值．

解答 解：∵存在非零實數t，使得f（t）+$f（\frac{1}{t}）$=-3，
∴t²+at+b+$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{a}{t}$+b=-3，
設t+$\frac{1}{t}$=m，|m|≥2，
∴m²+am+2b+1=0
∴-2b=m²+am+1，
∴a²+4b²=a²+（m²+am+1）²=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
設f（a）=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
其對稱軸為a=m，
∴f（a）_min=（1+m²）m²+2m²（m²+1）+（m²+1）²=（m²+1）（4m²+1），
設m²=n≥4，
則f（n）=（n+1）（4n+1）=4n²+5n+1，
當n≥4時，函數f（n）為增函數，
∴f（n）_min=4×4+4×5+1=37
∴a²+4b²≤37
故答案為：37

點評 本題考查了“換元法”、基本不等式的性質、二次函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．