Question

5．已知函數f（x）=lnx．
（1）若曲線g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$-1在點（2，g（2））處的切線與直線x+2y-1=0平行，求實數a的值；
（2）若m＞n＞0，求證$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求導，由題意可知g′（2）=-$\frac{1}{2}$，即可求得a的值；
（2）由題意可知：要證$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．，即證$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}-1}$＜ln$\frac{m}{n}$，構造輔助函數，求得，根據函數的單調性，即可求得函數的最小值，即可證明不等式成立．

解答 解：（1）由f（x）=lnx．（x＞0），g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，求導g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$．
∵曲線g（x）在點（2，g（2））處的切線與直線x+2y-1=0平行，
∴g′（2）=$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$=-$\frac{1}{2}$，則a=4，
實數a的值4；（4分）
（2）證明：∵m＞n＞0，∴$\frac{m}{n}$＞1，
要證$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．，即證$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}-1}$＜ln$\frac{m}{n}$，（6分）
令$\frac{m}{n}$=x，（x＞1，h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，（x＞1），
求導h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x-1）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x（x+1）^{2}}$，
當x＞1時，h′（x）＞0，（8分）
∴在（1，+∞）上是增函數，則h（x）＞h（1）=0，
∴$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}-1}$＜ln$\frac{m}{n}$，
∴$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．（12分）

點評 本題考查導數的綜合應用，考查導數的幾何意義，考查分析法求證不等式成立，利用導數求函數的單調性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．