Question

15．P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于2．

Answer 1

分析 由橢圓的定義及余弦定理即可求得|PF₁|•|PF₂|=4，根據(jù)向量的數(shù)量積即可求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．

解答 解：由橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，則a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
可得焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由橢圓的定義可得m+n=4，
由∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理可得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
∴m²+n²-mn=4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-mn=4}\end{array}\right.$，
化為mn=4，即|PF₁|•|PF₂|=4
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=|PF₁|•|PF₂|cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理，向量的數(shù)量積，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．