Question

14．如圖，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小為α，∠CAD大小為β．
（1）若$α=\frac{π}{4}，β=\frac{π}{3}$，求$\frac{BD}{DC}$；
（2）若$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}，β=α+\frac{π}{3}$，求∠B．

Answer 1

分析 （1）分別在△ABD和△ACD中使用正弦定理即可得出$\frac{BD}{DC}=\frac{sinα}{sinβ}$；
（2）利用三角恒等變換求出α，從而得出∠B．

解答 解：（1）在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sinα}=\frac{AD}{sinB}$，
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{DC}{sinβ}=\frac{AD}{sinC}$，
∵∠B=∠C，
∴$\frac{BD}{sinα}=\frac{DC}{sinβ}$，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
 （2）由（1）知$\frac{BD}{DC}$=$\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{1}{2}$，
又β=α+$\frac{π}{3}$，∴sinβ=sin（$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα，
∴$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=2sinα，即$\sqrt{3}$cosα=3sinα，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴α=$\frac{π}{6}$，β=$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{1}{2}$（π-α-β）=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了正弦定理，三角恒等變換，屬于中檔題．