Question

6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是正方形，正視圖和側視圖都是底面邊長為6，高為4的等腰三角形．
（1）求該幾何體的體積V；
（2）求該幾何體的表面積S．

Answer 1

分析 由三視圖得該幾何體是正四棱錐，畫出直觀圖，由題意求出棱長、高以及斜面上的高，
（1）由椎體的條件求出該幾何體的體積V；
（2）由圖和面積公式求出該幾何體的表面積S．

解答 解：由三視圖得該幾何體是正四棱錐P-ABCD，如圖所示：
其中PO⊥平面ABCD，E是BC的中點，
∵正視圖和側視圖都是底面邊長為6，高為4的等腰三角形，
∴PO=4，AB=BC=6，OE=3，
則PE=$\sqrt{P{O}^{2}+O{E}^{2}}$=5，
（1）該幾何體的體積V=$\frac{1}{3}$×6×6×4=48；
（2）∵E是BC的中點，∴PE⊥BC
∴該幾何體的表面積S=6×6+4×$\frac{1}{2}$×6×5=96．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的體積以及表面積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力．