Question

16．直線y=2x+b是曲線y=xlnx（x＞0）的一條切線，則實數b為-e．

Answer 1

分析 設切點為（x₀，x₀lnx₀），對y=xlnx求導數得y′=lnx+1，從而得到切線的斜率k=lnx₀+1，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程為y=（lnx₀+1）x-x₀，對照已知直線列出關于x₀、m的方程組，解之即可得到實數m的值．

解答 解：設切點為（x₀，x₀lnx₀），
對y=xlnx求導數，得y′=lnx+1，
∴切線的斜率k=lnx₀+1，
故切線方程為y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
整理得y=（lnx₀+1）x-x₀，
與y=2x+b比較得lnx₀+1=2且-x₀=b，
解得x₀=e，故b=-e．
故b的值為：-e．

點評 本題考查導數的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力，屬于中檔題．