Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉成△A₁DE．若M為線段A₁C的中點，則在△ADE翻折過程中：
①|BM|是定值；
②點M在某個球面上運動；
③存在某個位置，使DE⊥A₁C；
④存在某個位置，使MB∥平面A₁DE．
其中正確的命題是①②④．

Answer 1

分析 取A₁D的中點N，連結MN，EN，則可證明四邊形MNEB是平行四邊形，從而BM$\stackrel{∥}{=}$EN，于是BM∥平面A₁DE，從而可判斷①②④一定成立，假設③成立，則可推出DE⊥A₁E，得出矛盾．

解答 解：取A₁D的中點N，連結MN，EN，
則MN為△A₁CD的中位線，∴MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∵E是矩形ABCD的邊AB的中點，∴BE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$BE，
∴四邊形MNEB是平行四邊形，
∴BM$\stackrel{∥}{=}$EN，
∴BM為定值，M在以B為球心，以BM為半徑的球面上，故①正確，②正確；
又NE?平面A₁DE，BM?平面A₁DE，
∴BM∥平面A₁DE，故④正確；
由勾股定理可得DE=CE=2$\sqrt{2}$，∴DE²+CE²=CD²，
∴DE⊥CE，若DE⊥A₁C，又A₁C∩CE=C，
∴DE⊥平面A₁CE，又A₁E?平面A₁CE，
∴DE⊥A₁E，而這與∠AED=45°矛盾．故③錯誤．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了空間線面位置關系的判斷，屬于中檔題．