Question

12．關于函數f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$），則下列命題：
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
②y=f（x）最小正周期是π；
③y=f（x）在區間（$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$）上是減函數；
④將函數y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位后，將與已知函數的圖象重合．
其中正確命題的序號是①②③④．

Answer 1

分析 利用誘導公式以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的圖象和性質，依次判斷各選項即可．

解答 解：函數f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{6}+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$）
對于①：由三角函數的圖象和性質，f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；∴①對；
對于②：f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，∴②對；
對于③：由$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{5π}{12}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，可得$\frac{π}{24}$+kπ≤x≤$\frac{13π}{24}$+kπ，∴f（x）在區間（$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$）上是減函數；∴③對；
對于④：將函數y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位后，可得$\sqrt{2}$cos2（x-$\frac{π}{24}$）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sin（2x$-\frac{π}{12}$$+\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$），∴④對．
故答案為：①②③④．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．