Question

7．已知點P是以F₁，F₂為焦點的橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上一點，若$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0，tan∠P{F_1}{F_2}=\frac{1}{3}$，則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 在Rt△PF₁F₂中，用a，c表示出各邊，根據勾股定理列方程得出a與c的關系即可求出離心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，∴PF₁⊥PF₂，
∵tan∠PF₁F₂=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，PF₁+PF₂=2a，
∴PF₁=$\frac{3}{2}$a，PF₂=$\frac{1}{2}$a，又F₁F₂=2c，
由勾股定理得：$\frac{9}{4}{a}^{2}$+$\frac{1}{4}{a}^{2}$=4c²，
∴10a²=16c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{10}{16}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故選C．

點評 本題考查了橢圓的性質，屬于中檔題．