Question

2．已知函數f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$a（x+1）²（其中a∈R，e為自然對數的底數，e=2.718128…）．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（2）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過代入a=1可知f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$（x+1）²，進而求導解不等式可得函數f（x）的單調區間；
（2）通過求導可知f′（x）=（x+1）（e^x-a），分a≤0、a＞0兩種情況討論即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$（x+1）²，
則f′（x）=e^x+xe^x-（x+1）=（x+1）（e^x-1），
由f′（x）=0，得x=-1或x=0．
列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f（x）的增區間為（-∞，-1），（0，+∞）；減區間為（-1，0）；
（2）求導可知f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（e^x-a），
當a≤0時e^x-a＞0，此時令f′（x）=0可知x=-1，
從而函數f（x）的增區間為（-1，+∞）、減區間為（-∞，-1），
此時f（x）有極小值點-1；
當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=-1或x=lna．
①當lna=-1即a=$\frac{1}{e}$時，則f′（x）≥0，即函數f（x）在R上為增函數，此時f（x）無極值點；
②當lna＞-1即a＞$\frac{1}{e}$時，則由f′（x）＞0可知x＜-1或x＞lna，由f′（x）＜0可知-1＜x＜lna，
即函數f（x）的增區間為（-∞，-1），（lna，+∞）、減區間為（-1，lna），
此時f（x）有極大值點-1、極小值點lna；
③當lna＜-1即0＜a＜$\frac{1}{e}$時，則由f′（x）＞0可知x＜lna或x＞-1，由f′（x）＜0可知lna＜x＜-1，
即函數f（x）的增區間為（-∞，lna），（-1，+∞）、減區間為（lna，-1），
此時f（x）有極大值點lna、極小值點-1；
綜上所述，當a≤0時函數f（x）有一個極值點，當a=$\frac{1}{e}$時函數f（x）沒有極值點，當0＜a＜$\frac{1}{e}$或a＞$\frac{1}{e}$時函數f（x）有兩個極值點．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．