Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，焦距為2$\sqrt{2}$，若直線y=-$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{2}$）與橢圓交于點M，滿足$\frac{1}{2}$∠MF₁F₂=∠MF₂F₁，則離心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：∠MF₁F₂=$\frac{π}{3}$，∠MF₂F₁=$\frac{π}{6}$，∠F₁MF₂=90°．根據三角形的關系即可求得丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），根據橢圓的離心率公式即可求得橢圓的離心率．

解答 解：如圖所示，由直線y=-$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{2}$），由tanα=-$\sqrt{3}$，則α=$\frac{2π}{3}$．
又橢圓Γ的一個交點滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，則∠MF₂F₁=$\frac{π}{3}$，則不滿足三角形的內角和為π，
∴∠MF₁F₂=$\frac{π}{3}$，∠MF₂F₁=$\frac{π}{6}$，∠F₁MF₂=90°．
在Rt△F₁MF₂中，由丨F₁F₂丨=2c=2$\sqrt{2}$，丨MF₁丨=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨=$\sqrt{2}$，
丨MF₂丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$丨F₁F₂丨=$\sqrt{6}$，
由丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），
∴該橢圓的離心率e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
橢圓的離心率e=$\sqrt{3}$-1，
故選B．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，直線與橢圓的位置關系，考查三角形的性質，考查數形結合思想，屬于中檔題．