Question

5．設函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+3bx-2的導函數為f′（x），若f′（x）滿足f′（x+2）=f′（2-x），且f（x）≥-2在[1，3]上恒成立，則實數b的取值范圍為[7，+∞）．

Answer 1

分析 先求導，根據函數的對稱性，求出a的值，再分離參數，構造函數，利用導數求出函數的最大值即可

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+2b，
∵函數f′（x）的圖象關于直線x=2對稱，
∴$\frac{2a}{6}$=2，即a=6．
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-6x²+3bx-2
∵f（x）≥-2在[1，3]上恒成立，
即$\frac{1}{3}$x³-6x²+2bx+1≥-2在[1，3]上恒成立，
∴2b≥-$\frac{1}{3}$x²+6x-$\frac{3}{x}$在[1，3]上恒成立，
令g（x）=-$\frac{1}{3}$x²+6x-$\frac{3}{x}$，x∈[1，3]，
∴g′（x）=-$\frac{2}{3}$x+6+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0在1，3]上恒成立，
∴g（x）在[1，3]上單調遞增，
∴g（x）_max=g（3）=14，
∴2b≥14，
∴b≥7，
故b的范圍為[7，+∞），
故答案為：[7，+∞）

點評 本題考查了利用導數研究函數的最值，利用導數研究函數的單調性，函數的單調性與導數的正負有關．本題還考查了函數的恒成立問題，一般選用參變量分離的方法進行處理，轉化成求函數的最值問題．屬于中檔題．