Question

13．在平面直角坐標系xOy中，直線l過點$P（1，\sqrt{3}）$和M（2，0），直線l與曲線C：y²=4x交于A，B兩點．
（1）寫出直線l的參數方程；
（2）求$\frac{1}{{|{MA}|}}+\frac{1}{{|{MB}|}}$．

Answer 1

分析 （1）由題意求得直線PM的斜率，求得直線l的傾斜角，即可求得參數方程；
（2）將參數方程代入拋物線方程，利用韋達定理及參數的幾何意義，即可求得$\frac{1}{{|{MA}|}}+\frac{1}{{|{MB}|}}$．

解答 解：（1）由于直線經過$P（1，\sqrt{3}）$和M（2，0），直線PM的斜率k=$\frac{\sqrt{3}-0}{1-2}$=-$\sqrt{3}$，
直線l的傾斜角α=$\frac{2π}{3}$，故l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）；
（2）聯立直線與曲線消參得：3t²+16t-32=0，t₁+t₂=$\frac{16}{3}$，t₁t₂=-$\frac{32}{3}$，
由參數t的幾何意義得
$\frac{1}{{|{MA}|}}+\frac{1}{{|{MB}|}}$=$\frac{1}{丨{t}_{1}丨}$+$\frac{1}{丨{t}_{2}丨}$=$\frac{丨{t}_{1}丨+丨{t}_{2}丨}{丨{t}_{1}{t}_{2}丨}$-$\frac{丨{t}_{1}-{t}_{2}丨}{丨{t}_{1}{t}_{2}丨}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{丨{t}_{1}{t}_{2}丨}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴$\frac{1}{{|{MA}|}}+\frac{1}{{|{MB}|}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題考查直線的參數方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及參數的幾何意義，考查計算能力，屬于中檔題．