Question

12．2015年9月3日，抗戰勝利70周年紀念活動在北京隆重舉行，收到全國人民的矚目．紀念活動包括舉行紀念大會、閱兵式、招待會和文藝晚會等，據統計，抗戰老兵由于身體原因，參加紀念大會、閱兵式、招待會這三個環節（可參加多個，也可都不參加）的情況及其概率如表所示：

參加紀念活動的環節數	0	1	2	3
概率	$\frac{1}{6}$	m	n	$\frac{1}{3}$

（1）若m=2n，則從這60名抗戰老兵中按照參加紀念活動的環節數分層抽取6人進行座談，求參加紀念活動環節數為1的抗戰老兵中抽取的人數；
（2）某醫療部門決定從（1）中抽取的6名抗戰老兵中隨機抽取2名進行體檢，求這2名抗戰老兵中至少有1人參加紀念活動的環節數為3的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$m+n+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1$，再由m=2n，能求出這60名抗戰老兵中參加紀念活動的環節數為0，1，2，3的抗戰老兵的人數分別為10，20，10，20，由此利用分層抽樣法能求出參加紀念活動的環節數為1的抗戰老兵中應抽取的人數．
（2）抽取的這6名抗戰老兵中1名參加了0個環節，記為A，2名參加了1個環節，記為B，C，1名參加了2個環節，分別記為D，2名參加了3個環節，分別記為E，F，從這6名抗戰老兵中隨機抽取2人，利用列舉法能求出這2名抗戰老兵中至少有1人參加紀念活動的環節數為3的概率．

解答 解：（1）由題意可知：$m+n+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1$，
又m=2n，解得$m=\frac{1}{3}$，$n=\frac{1}{6}$
故這60名抗戰老兵中參加紀念活動的環節數為0，1，2，3的抗戰老兵的人數分別為10，20，10，20，
其中參加紀念活動的環節數為1的抗戰老兵中應抽取的人數為$20×\frac{6}{60}=2$．
（2）由（1）可知抽取的這6名抗戰老兵中1名參加了0個環節，記為A，
2名參加了1個環節，記為B，C，1名參加了2個環節，分別記為D，
2名參加了3個環節，分別記為E，F，
從這6名抗戰老兵中隨機抽取2人，有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），
（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），
共15個基本事件，
記“這2名抗戰老兵中至少有1人參加紀念活動的環節數為3”位事件M，
則事件M包含的基本事件為：
（A，E），（A，F），（B，E），（B，F），（C，E），（C，F），
（D，E），（D，F），（E，F），共9個基本事件．
所以這2名抗戰老兵中至少有1人參加紀念活動的環節數為3的概率$P（M）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

點評 本題分層抽樣的應用，考查概率的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是基礎題．