Question

11．已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．
（1）求cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞；
（2）求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積．

Answer 1

分析 （1）求出兩向量的坐標，模長，數量積，代入夾角公式計算；
（2）求出sin∠BAC，則平行四邊形的面積S=2S_△ABC．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（-2，-1，3），$\overrightarrow{AC}$=（1，-3，2），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-2+3+6=7，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{4+1+9}$=$\sqrt{14}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{1+9+4}$=$\sqrt{14}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{7}{\sqrt{14}×\sqrt{14}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知sin∠BAC=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×|AB|×|AC|×sin∠BAC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{14}×\sqrt{14}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∴以AB，AC為邊的平行四邊形的面積S=2S_△ABC=7$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了空間向量的坐標運算，屬于基礎題．