Question

20．已知 函數F（x）=$\frac{a}{3}$x³+$\frac{b}{2}$x²+x（a＞0），f（x）=F′（x），若f（-1）=0且對任意實數x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）表達式；
（2）若h（x）=F（x）+$\frac{t}{2}$x²+（2t-1）x，求h（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a，b的不等式組，求出a，b的值即可；（2）求出h（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）F′（x）=f（x）=ax²+bx+1，
則有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{{b}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以F（xx）=$\frac{1}{3}$x³+x²+x；
（2）因為h（x）=F（x）+$\frac{t}{2}$x²+（2t-1）x，
所以h′（x）=x²+（2+t）x+2t，
所以：當t=2時h′（x）≥0恒成立，
所以h（x）的單調遞增區間為R，無單調遞減區間，
當t＞2時，-t＜-2，由h′（x）≥0，得：x≥-2或x≤-t，
h（x）的單調遞增區間為[-2，+∞），（-∞，-t]；單調遞減區間為[-2，-t]，
當t＜2時，-t＞-2，由h′≥0，得：x≥-t或x≤-2，
h（x）的單調遞增區間為[-t，+∞），（-∞，-2]；單調遞減區間為[-t，-2]．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．