Question

7．已知某三棱錐的三視圖如圖所示，圖中的3個直角三角形的直角邊長度已經標出，則在該三棱錐中，最短的棱和最長的棱所在直線的成角余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由三視圖還原原幾何體，補形找出異面直線所成角，求解三角形得答案．

解答 解：由三視圖還原原幾何體如圖：

幾何體是三棱錐A-BCD，滿足面ACD⊥面BCD，且AD⊥CD，BC⊥CD．
最短棱為CD，最長棱為AB．
在平面BCD內，過B作BE∥CD，且BE=CD，
∴四邊形BEDC為正方形，可得AE=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AEB中，求得AB=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$，
∴cos∠ABE=$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}$．
即最短的棱和最長的棱所在直線的成角余弦值為$\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查空間幾何體的三視圖，考查異面直線所成角的求法，是中檔題．