Question

18．已知函數f（x）=x²-cx+bln（ax），其中c，b，a∈R，且a≠0．
（1）當c=-3，b=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）設a=1，若f（x）存在極大值，且對于c的一切可能取值，f（x）的極大值均小于0，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間；
（2）求出函數的導數，根據函數的單調性求出f（x）的極大值，得到關于b的不等式，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）c=-3，b=1時，f（x）=x²+3x+ln（ax），
故$f'（x）=2x+3+\frac{1}{x}=\frac{{（{2x+1}）（{x+1}）}}{x}$，
當a＞0時，x＞0，故f′（x）＞0，
因此f（x）在（0，+∞）單調遞增；
當a＜0時，x＜0，由f′（x）＞0，得-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
由f′（x）＜0，得：x＜-1或x＞-$\frac{1}{2}$，
因此f（x）在（-∞，-1）和（-$\frac{1}{2}$，0）單調遞減，在（-1，-$\frac{1}{2}$）單調遞增；       
（2）由題f′（x）=2x-c+$\frac{b}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-cx+b}{x}$，（x＞0），顯然△=c²-8b＞0；
設f′（x）=0的兩根為x₁＜x₂，則當x＜x₁或x＞x₂時f′（x）＞0，
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，故f（x）_極大值=f（x₁）=${{x}_{1}}^{2}$-cx₁+blnx₁，且0＜x₁＜x₂，
知c．b∈R⁺，又f′（x₁）=0，故cx₁=2${{x}_{1}}^{2}$+b，且x₁=$\frac{c-\sqrt{{c}^{2}-8b}}{4}$，
從而f（x₁）=$\frac{{c}^{2}-4b-c\sqrt{{c}^{2}-8b}}{-8}$+bln$\frac{c-\sqrt{{c}^{2}-8b}}{4e}$＜0，
令g（c）=f（x₁），則$g'（c）=-\frac{1}{8}[{2c-（{\sqrt{{c^2}-8b}+c•\frac{2c}{{2\sqrt{{c^2}-8b}}}}）}]+b•\frac{{1-\frac{2c}{{2\sqrt{{c^2}-8b}}}}}{{c-\sqrt{{c^2}-8b}}}=\frac{{\sqrt{{c^2}-8b}-c}}{4}＜0$，
故g（c）在$（{\sqrt{8b}，+∞}）$單減，從而$g（c）＜g（{\sqrt{8b}}）=-\frac{b}{2}+bln\frac{{\sqrt{2b}}}{2e}$，
因此-$\frac{b}{2}$+bln$\frac{\sqrt{2b}}{2e}$≤0，解得：0＜b≤2e³．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．