Question

20．若函數y=x²的圖象在點（2，4）處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為$\frac{n}{2}$，則二項式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ的展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數為96．

Answer 1

分析 函數y=x²的圖象在點（2，4）處的切線方程，可得它與坐標軸的交點，根據它與兩坐標軸所圍成的三角形面積為 $\frac{1}{2}$•1•4=$\frac{n}{2}$，求得n的值，再利用二項式展開式的通項公式求得展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數．

解答 解：函數y=x²的圖象在點（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即y=4x-4，它與坐標軸的交點為（1，0）、（0，4），
故它與兩坐標軸所圍成的三角形面積為 $\frac{1}{2}$•1•4=$\frac{n}{2}$，∴n=4，
故二項式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ=（1-$\frac{4}{x}$）⁴的展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數為 ${C}_{4}^{2}$•4²=96，
故答案為：96．

點評 本題主要考查求曲線在某一點的切線方程，二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．