Question

9．兩個半徑都是1的球O₁和球O₂相切，且均與直二面角α-l-β的兩個半平面都相切，另有一個半徑為γ（γ＜1）的小球O與這二面角的兩個半平面也都相切，同時與球O₁和球O₂都外切，則γ的值為3-$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 兩個單位立方體構成直二面角，建立空間坐標系，利用向量法能求出結果．

解答 解：如圖為兩個單位立方體構成，圖中的左側面和底面構成題目中的直二面角，

O₁、O₂為單位球的球心，小球O在MN上．
設OH=r，則有：OO₁=OO₂=r+1，才能滿足外切條件．
如圖，為M為原點建立空間坐標系，各點坐標為：
O （r，0，r），O₂（1，1，1）
∴OO₂²=（1+r）²，（1-r）²+1+（1-r）²=（1+r）²，
解得：r=3±$\sqrt{7}$，
其中r=3-$\sqrt{7}$為符合題意的解．
∴r=3-$\sqrt{7}$．
故答案為：3-$\sqrt{7}$．

點評 本題考查小球半徑的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．