Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos2x-m，x∈R，且f（x）的最大值為1．
（1）求m的值；
（2）求f（x）的周期以及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)f（x）化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大值，可得m的值．
（2）利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos2x-m，x∈R，
化簡得：f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-m，
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-m．
∵f（x）的最大值為1．即2-m=1，
解得：m=1．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
∵正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）
可得：2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$2kπ$+\frac{π}{2}$，
解得：kπ$-\frac{5π}{12}$≤x≤kπ$+\frac{π}{12}$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ$-\frac{5π}{12}$，kπ$+\frac{π}{12}$]（k∈Z）．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．