Question

7．（1）數列{a_n}的前n項和S_n=An²+Bn（A，B是常數）求證：數列{a_n}是等差數列
（2）數列{ b_n}的前n項和S_n=$\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}$，（q≠1）求證：數列{ b_n}是等比數列．

Answer 1

分析 （1）a_n=S_n-S_n-1=（An²+Bn）-[A（n-1）²+B（n-1）]=2an-A．a₂-a₁=（4A-A）-（2A-A）=2A．數列{a_n}的公差為2A的等差數列．
（2）利用公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（n=1）}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$進行討論，然后綜合可得a_n的通項公式，從而證出數列{a_n}是公比為q等比數列．

解答 （1）證明：由S_n=An²+Bn（A，B是常數）知，
a_n=S_n-S_n-1=（An²+Bn）-[A（n-1）²+B（n-1）]
=（a_n²+b_n）-（a_n²-2a_n+A+b_n-B）=2a_n-A+B．
∴a₂-a₁=（4A-A）-（2A-A）=2A．
∴數列{a_n}是等差數列；
（2）n=1時，a₁=S₁=a，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{a}{1-q}$（qⁿ-q^n-1）=aq^n-1
∵n=1時，a₁=a=aq^1-1也符合
∴a_n=aq^n-1（n∈N₊），可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=q，即數列{a_n}是公比為q等比數列．

點評 本題考查數列的性質和應用，解題要認真審題，仔細解答．