Question

10．已知正項等比數列{a_n}滿足：a₆+2a₅=15a₄，若存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=3{a_1}，則-m+\frac{12}{n}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． $4\sqrt{3}-4$
• D． $4-2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設正項等比數列{a_n}的公比為q＞0，由a₆+2a₅=15a₄，可得a₅q+2a₅=15$\frac{{a}_{5}}{q}$，解得q．由存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=3a₁，可得m+n=4．再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q＞0，∵a₆+2a₅=15a₄，
∴a₅q+2a₅=15$\frac{{a}_{5}}{q}$，化為q²+2q-15=0，q＞0，解得q=3．
∵存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=3a₁，∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=3a₁，化為：3^m+n-2=3²，可得m+n=4．
∴$-m+\frac{12}{n}$=n-4+$\frac{12}{n}$≥$2\sqrt{n•\frac{12}{n}}$-4=3，當且僅當n=3時取等號．
故選：B．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其性質、方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．