Question

5．某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；并根據你的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 選擇②式，由倍角公式及特殊角的三角函數值即可得解，發現推廣三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．

解答 解：選擇②式，計算如下：
sin²15°+cos²15°-sin 15°cos 15°=1-$\frac{1}{2}$sin 30°=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
推廣為三角恒等式三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
故答案為：sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，歸納推理，屬于基本知識的考查．