Question

14．已知函數f（x）對于任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0恒成立，且當x＞0時，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，則當x＜0時，f（x）=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$sin2x+cosx
• B． -$\frac{2}{3}$sin2x+cosx
• C． $\frac{2}{3}$sin2x-cosx
• D． -$\frac{2}{3}$sin2x-cosx

Answer 1

分析 由題意：f（x）+f（-x）=0恒成立，可得f（x）是奇函數．當x＞0時，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，當x＜0時，那么-x＞0，可得f（x）的解析式．

解答 解：由題意：f（x）+f（-x）=0恒成立，可得f（x）是奇函數．即-f（x）=f（-x）；
當x＞0時，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，
當x＜0時，則-x＞0，那么，f（-x）=$\frac{2}{3}$sin（-2x）+cos（-x）=-$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，
∵-f（x）=f（-x）；
∴f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x-cosx，
故選C．

點評 本題考查了解析式的求法，利用了函數的奇函數的性質求解！屬于基礎題．