Question

9．在△ABC中，|BC|是|AB|、|AC|的等差中項，且B（-1，0），C（1，0）．
（1）求頂點A的軌跡G的方程；
（2）若G上存在兩點關于直線l：y=2x+m對稱，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，求頂點A的軌跡G的方程；
（2）由題意設關于直線y=2x+m對稱的點為A，B，則AB的方程為y=-$\frac{1}{2}x$+n，聯立橢圓方程與直線方程，由判別式大于0求得n的范圍，利用根與系數的關系求出AB的中點C的坐標，再分別代入兩條直線方程，得到n與m的關系，再由n的范圍求得m的范圍．

解答 解：（1）由題意，|AB|+|AC|=2|BC|=4＞|BC|，
∴頂點A的軌跡G是以B，C為焦點的橢圓（除去A，B，C共線），且a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴頂點A的軌跡G的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2）；
（2）解：設關于直線y=2x+m對稱的點為A，B，則AB的方程為y=-$\frac{1}{2}x$+n，
與橢圓方程聯立，消去y整理得：4x²-4nx+4n²-12=0．
即x²-nx+（n²-3）=0．
由△=n²-4n²+12＞0，得-2＜n＜2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=n，x₁x₂=n²-3，
再設AB的中點為C（x₀，y₀），
則x₀=$\frac{n}{2}$，
又C在y=-$\frac{1}{2}x$+n上，得y₀=$\frac{3}{4}$n，
C在y=2x+m上，得$\frac{3}{4}$n=2×$\frac{n}{2}$+m，即n=-4m．
則-2＜-2m＜2，得-$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查了存在性問題的求解方法，訓練了點關于線的對稱點的求法，是中檔題．