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4.已知函數f(x)=x2+2x|x-a|,其中a∈R.
(1)當a=-1時,在所給坐標系中作出f(x)的圖象;
(2)對任意x∈[1,2],函數g(x)=-x+14的圖象恒在函數f(x)圖象的上方,求實數a的取值范圍.

分析 (1)當a=-1時,作出函數f(x)=x2+2x|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}-2x,x<-1}\\{{3x}^{2}+2x,x≥-1}\end{array}\right.$ 的圖象.
(Ⅱ)由題意,對任意x∈[1,2],只需[f(x)+x]max<14.分類討論求得[f(x)+x]max ,可得實數a的取值范圍.

解答 解:(1)當a=-1時,作出函數f(x)=x2+2x|x-a|=x2+2x|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}-2x,x<-1}\\{{3x}^{2}+2x,x≥-1}\end{array}\right.$ 的圖象,
如圖所示:
(2)由題意,對任意x∈[1,2],f(x)<g(x),
即f(x)+x<14恒成立,
只需[f(x)+x)]max<14.
另一方面,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2ax,x<a}\\{{3x}^{2}-2ax,x≥a}\end{array}\right.$.
當a≥0時,f(x)在(-∞,a)和(a,+∞)上均遞增,∵f(a)=a2,則f(x)在R上遞增,
當a<0時,f(x)在(-∞,a)和($\frac{a}{3}$,+∞)上遞增,在(a,$\frac{a}{3}$)上遞減,
故f(x)在x∈[1,2]上恒單調遞增,從而y=f(x)+x在x∈[1,2]上也恒單調遞增,
則[f(x)+x]max=f(2)+2=4+4|2-a|+2<14,即|2-a|<2,解得0<a<4,
故實數a的取值范圍是(0,4).

點評 本題主要考查函數的圖象,函數與方程的綜合應用,體現了轉化、分類討論的數學思想,屬于中檔題.

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