Question

7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁，M為A₁B₁的中點，N是AC₁與A₁C的交點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面ABC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明線面平行，只需證明MN平行于平面BCC₁B₁內的一條直線，利用三角形的中位線可證；
（Ⅱ）由B₁C⊥BC₁．則AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊥AB，則B₁C⊥平面ABC₁，則MN∥B₁C，即可證明MN⊥平面ABC₁．

解答 解：（Ⅰ）證明：連結B₁C，由M，N分別為A₁B₁，A₁C的中點，
∴MN∥B₁C，
由MN?平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁，
（Ⅱ）證明：∵在直三棱柱中BC=BB₁，
∴側面BCC₁B₁為正方形，則B₁C⊥BC₁．
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥平面BCC₁B₁．
∵B₁C?平面BCC₁B₁，
∴B₁C⊥AB，
∵AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
∵MN∥B₁C，
∴MN⊥平面ABC₁．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關系，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．