Question

15．已知函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$，若方程f（x）=m存在兩個不同的實數解，則實數m的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，e）
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 對函數f（x）求導數f′（x），利用導數判斷函數f（x）的單調性，求出f（x）的定義域和最大值，
即可求出方程f（x）=m存在兩個不同的實數解時m的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0；
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx•1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得1-lnx=0，
解得x=e；
當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數；
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數；
當x=e時，f（x）取得最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$，且f（x）＞0；

當方程f（x）=m存在兩個不同的實數解時，
實數m的取值范圍是0＜x＜$\frac{1}{e}$．
故選：A．

點評 本題考查了函數的零點的判斷問題，也考查了利用導數判斷函數的單調性與最值的應用問題，是綜合性題目．