Question

3．設函數f（x）=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$（a＞b＞0）的圖象是曲線C．
（1）在如圖的坐標系中分別做出曲線C的示意圖，并分別標出曲線C與x軸的左、右交點A₁，A₂．
（2）設P是曲線C上位于第一象限的任意一點，過A₂作A₂R⊥A₁P于R，設A₂R與曲線C交于Q，求直線PQ斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡函數的解析式為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，且y≥0，其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分，數形結合求得，A₁ 和A₂的坐標．
（2）先考察一般性，直線A₁P的方程是y=k（x+a），與橢圓方程聯立，求得P，Q的坐標，可得直線PQ斜率，即可求出取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$（a＞b＞0），
∴y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$，
∴a²y²=b²（a²-x²），∴b²x²+a²y²=b²a²，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，且y≥0，
其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分，
如圖所示，A₁ （-a，0）、A₂（a，0）．
（2）曲線C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0），
設 直線A₁P的斜率是k，
因為P是曲線C上位于第一象限內的任意一點，所以k∈（0，$\frac{b}{a}$）．
設P，Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則直線A₁P的方程是y=k（x+a），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=k（x+a）}\end{array}\right.$消去y得，（a²k²+b²）x²+2a³k²x+a²（a²k²-b²）=0，
解得x₁=$\frac{a（{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y₁=$\frac{2a{b}^{2}k}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
將上式中的a換成-a，k換成-$\frac{1}{k}$得x₂=$\frac{a（{a}^{2}-{b}^{2}{k}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}$，y₂=$\frac{2a{b}^{2}k}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}$，
∴K_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{3}$（k-$\frac{1}{k}$），由于y=$\frac{1}{3}$（k-$\frac{1}{k}$）在∈（0，$\frac{b}{a}$）上單調遞增，
∴K_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{3}$（k-$\frac{1}{k}$）＜$\frac{1}{3}$（$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$）=$\frac{{b}^{2}{-a}^{2}}{ab}$，
故直線PQ斜率的取值范圍為（-∞，$\frac{{b}^{2}{-a}^{2}}{ab}$）．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．