Question

10．設A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸兩端點，Q為橢圓上一點，使∠AQB=120°，則橢圓離心率e的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 由題意可知：則tan∠AQB=$\frac{{k}_{QA}-{k}_{QB}}{1+{k}_{QA}•{k}_{QB}}$=-$\sqrt{3}$，即$\frac{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}}{1-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}}{x+a}}$=-$\sqrt{3}$，求得$\frac{2a{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=-$\sqrt{3}$，①，由y₀=a²（1-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$），代入求得y₀，由0＜y₀≤b，代入即可求得橢圓離心率e的取值范圍．

解答 解：由對稱性不防設Q在x軸上方，Q坐標為（x₀，y₀），
則tan∠AQB=$\frac{{k}_{QA}-{k}_{QB}}{1+{k}_{QA}•{k}_{QB}}$=-$\sqrt{3}$，即$\frac{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}}{1-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}}{x+a}}$=-$\sqrt{3}$，
整理得：$\frac{2a{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=-$\sqrt{3}$，①
∵Q在橢圓上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即y₀=a²（1-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$），代入①得y₀=$\frac{2a{b}^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$，
∵0＜y₀≤b，
∴0＜$\frac{2a{b}^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$≤b，由b²=a²-c²，
化簡整理得：3e⁴+4e²-4≥0，
解得：e²≥$\frac{2}{3}$，或e≤-2（舍去），
由0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤e＜1，
故選B．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線的斜率公式，考查橢圓簡單幾何性質的應用，考查計算能力，屬于中檔題．