Question

20．已知函數y=1-2t-2tx+2x²（-1≤x≤1）的最小值為f（t）．
（ I）求f（t）的表達式；
（ II）當t∈[-2，0]時，求函數f（t）的值域．

Answer 1

分析 （ I）根據二次函數的性質，討論其單調性，求其最小值即可．
（ II）根據f（t）的表達式，當t∈[-2，0]時，利用單調性可得其函數f（t）的值域．

解答 解：（ I）因為函數y=1-2t-2tx+2x²（-1≤x≤1）的對稱軸為$x=\frac{t}{2}$，開口向上，
ⅰ）當$\frac{t}{2}＜-1$即t＜-2時；y=1-2t-2tx+2x²在[-1，1]為增函數，
所以：y_min=y|_x=-1=3．
ⅱ）當$-1≤\frac{t}{2}≤1$即-2≤t≤2時；y=1-2t-2tx+2x²，[-1，1]對稱軸處取得最小值，
所以：${y_{min}}=y{|_{x=\frac{t}{2}}}=-\frac{t^2}{2}-2t+1$．
ⅲ）當$\frac{t}{2}＞1$即t＞2時，在[-1，1]為減函數，
∴y_min=y|_x=1=-4t+3．
綜上所述：$f（t）=\left\{{\begin{array}{l}{3，t＜-2}\\{-\frac{t^2}{2}-2t+1，-2≤t≤2}\\{-4t+3，t＞2}\end{array}}\right.$；
（ II）當t∈[-2，0]時，由$f（t）=\left\{{\begin{array}{l}{3，t＜-2}\\{-\frac{t^2}{2}-2t+1，-2≤t≤2}\\{-4t+3，t＞2}\end{array}}\right.$，
可知：$f（t）=-\frac{t^2}{2}-2t+1$，
由于對稱軸為：t=-2．
所以：$f（t）=-\frac{t^2}{2}-2t+1$在[-2，0]上為單調減函數，
故函數f（t）的值域為[1，3]．

點評 本題考察了函數的討論思想，分段函數的表達式求法，單調性的利用．屬于中檔題．