Question

9．已知函數f（x）=ax-$\frac{1}{x^2}$，且f（-$\frac{1}{3}$）=4f（$\frac{1}{2}$）．
（1）用定義法證明：函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增；
（2）若存在x∈[1，3]，使得f（x）＜|x-2|+m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出a的值，可設0＜x₁＜x₂，由已知函數的解析式，利用定義法進行判斷；
（2）設g（x）＜|x-2|+m，x∈[1，3]，求出函數最大值，再由（1）可得函數的最小值，即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（-$\frac{1}{3}$）=4f（$\frac{1}{2}$），
∴$-\frac{1}{3}a-9=2a-16$，
解得a=3，
∴f（x）=3x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設0＜x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=3{x_1}-\frac{1}{{{x_1}^2}}-3{x_2}+\frac{1}{{{x_2}^2}}=3（{x_1}-{x_2}）+\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{{{x_1}^2{x_2}^2}}=（{x_1}-{x_2}）（3+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}^2{x_2}^2}}）$．
∵$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}^2{x_2}^2}}＞0$，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增．
（2）設g（x）＜|x-2|+m，x∈[1，3]，
則當x=1或3時，g（x）_max=1+m，
由（1）知函數y=f（x）在[1，3]上單調遞增，
∴x=1時，f（x）取最小值2，
y=f（x）-g（x）在[1，3]上的最小值為f（1）-g（1）=1-m．
若存在x∈[1，3]，使得f（x）＜|x-2|+m，
∴1-m＜0，即m＞1，
∴m的取值范圍是（1，+∞）．

點評 本題考查函數的單調性的判斷與證明，以及函數的存在性問題，以及函數的最值的問題，屬于中檔題．