Question

19．已知函數f（x）=x²+alnx-（a+2）x（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當f（x）有極大值與極小值時，求證函數f（x）在定義域內有唯一的零點．

Answer 1

分析 （1）求導函數，求出函數的零點，再進行分類討論，從而可確定函數y=f（x）的單調性與單調區間．
（2）f（x）有極大值與極小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，根據函數零點定理驗證即可．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=2x-（a+2）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=$\frac{a}{2}$
①當0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜$\frac{a}{2}$或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得$\frac{a}{2}$＜x＜1，
∴函數f（x）的單調增區間是（0，$\frac{a}{2}$）和（1，+∞），單調減區間是（$\frac{a}{2}$，1）；
②當$\frac{a}{2}$=1，即a=2時，f′（x）=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$≥0，當且僅當x=1時，f′（x）=0，
∴函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數；
③當$\frac{a}{2}$＞1，即a≥2時，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞$\frac{a}{2}$；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜$\frac{a}{2}$
∴函數f（x）的單調增區間是（0，1）和（$\frac{a}{2}$，+∞），單調減區間是（1，$\frac{a}{2}$）；
④當$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0時，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
（2）∵f（x）有極大值與極小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，
當a＞2時，函數f（x）的單調增區間是（0，1）和（$\frac{a}{2}$，+∞），單調減區間是（1，$\frac{a}{2}$），
若x∈（0，$\frac{a}{2}$），f（x）≤f（1）=-a-1＜0，無零點，
若x∈（$\frac{a}{2}$，+∞），則f（$\frac{a}{2}$）＜f（1）＜0，
f（a+2）=aln（a+2）＞0，有一個零點，
則當a＞2時，f（x）有唯一的零點，
當0＜a＜2函數f（x）的單調增區間是（0，$\frac{a}{2}$）和（1，+∞），單調減區間是（$\frac{a}{2}$，1）；
若x∈（0，1），f（x）≤f（$\frac{a}{2}$）=a（lna-$\frac{a}{4}$-1-ln2），
有lna＜ln2＜1，則lna-$\frac{a}{4}$-1-ln2＜0，則f（x）＜0，即f（x）在（0，1）內無零點，
若x∈（1，+∞），則＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，即f（x）在[1，+∞）有一個零點，
則當0＜a＜2時，f（x）有唯一的零點，
綜上所述函數f（x）在定義域內有唯一的零點

點評 本題重點考查導數知識的運用和函數零點定理，考查函數的單調性，利用導數的正負確定函數的單調性是關鍵，屬于中檔題．